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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

4. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
a) an=n25n+7n+3+n2+5n+1a_{n}=\frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1}

Respuesta

Calculamos este límite:

limn n25n+7n+3+n2+5n+1\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1}

Lo primero que quiero que veas es, a ojo, mirando el grado de los polinomios, con todo lo que vimos en el ejercicio anterior... ¿A dónde está tendiendo eso? Bueno, el primer cociente está tendiendo a ++\infty y el segundo también. Por lo tanto ++=++\infty + \infty = +\infty y ese va a ser el resultado del límite. ¿Cómo justificamos que cada cociente se está yendo a ++\infty? Sacando factor común el que manda. Arrancamos con el primer cociente:

Cálculo auxiliar 1

limnn25n+7n+3=limnn2(15n+7n2)n(1+3n)=limnn(15n+7n2)1+3n=+\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2(1-\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2})}{n(1+\frac{3}{n})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(1-\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2})}{1+\frac{3}{n}} = +\infty

Cálculo auxiliar 2

limnn2+5n+1=limnn2(1+5n2)n(1+1n)=limnn(1+5n2)1+1n=+\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+5}{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2(1+\frac{5}{n^2})}{n(1+\frac{1}{n})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(1+\frac{5}{n^2})}{1+\frac{1}{n}} = +\infty Por lo tanto, limnn25n+7n+3+n2+5n+1=+\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1} = +\infty
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ExaComunidad
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Pablo
11 de octubre 11:38
hola Flor¡ me podes ayudar con el siguiente ejercicio
Demostrar que si x mayor o igual a cero, entonces
3x a la 5  -  20x a la 3 ,  mayor o igual a -64
saludos y gracias
Flor
PROFE
11 de octubre 12:09
@Pablo Hola Pablo! Es un ejercicio de estudio de funciones, no? Fijate que el enunciado se parece al que resolvimos en video en la parte de: Estudio de funciones -> Ejercicios de parcial típicos de estudio de funciones -> Demostrar una desigualdad usando estudio de funciones

El razonamiento para resolverlo va a ser igual al que explico ahí en el video, pero con un único detalle, atenti que en tu caso te imponen que x0x \geq 0 -> Así que al hacer el gráfico tené en cuenta que sólo estamos mirando la parte de xx mayor o igual a cero, el gráfico "arranca" en x=0x=0 (no tenés que mirar el gráfico completo)
1 Responder