$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1}$

Lo primero que quiero que veas es, a ojo, mirando el grado de los polinomios, con todo lo que vimos en el ejercicio anterior... ¿A dónde está tendiendo eso? Bueno, el primer cociente está tendiendo a $+\infty$ y el segundo también. Por lo tanto $+\infty + \infty = +\infty$ y ese va a ser el resultado del límite. ¿Cómo justificamos que cada cociente se está yendo a $+\infty$? Sacando factor común el que manda. Arrancamos con el primer cociente:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2(1-\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2})}{n(1+\frac{3}{n})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(1-\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2})}{1+\frac{3}{n}} = +\infty$

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+5}{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2(1+\frac{5}{n^2})}{n(1+\frac{1}{n})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(1+\frac{5}{n^2})}{1+\frac{1}{n}} = +\infty$ Por lo tanto, $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}+\frac{n^{2}+5}{n+1} = +\infty$